「秒で解ける数学の問題」がテーマのハイスピード数学プロブレム。 今回は根号を含む無理関数の最小値の問題。 前回は曲線の凹凸を用いました。今回こそ微分でしょうか…？

「秒で解ける数学の問題」がテーマのハイスピード数学プロブレム。 今回は何の変哲もない三角関数の最小値の問題。 しかし、何か裏がありそうです。

「秒で解ける数学の問題」がテーマのハイスピード数学プロブレム。今回は数列の問題。連続整数の積の積の和を計算します。

「秒で解ける数学の問題」がテーマのハイスピード数学プロブレム記念すべき第001回は4次方程式の解に関する式の値を求める問題です。

三角関数の●倍角の公式と縁が深いチェビシェフ多項式と「双曲線三角関数」の関係を調べました。対称式の計算とも関連があります。

高校数学におけるベクトル*1において四面体の体積を求めるには複数のステップを踏まないといけません。行列式を用いる方法もありますが、成分表示がされている場合に限られます。そこで今回は一般のベクトルに対して簡単に体積を求める公式を紹介します。 ベ…

今回は大学入試でもしばしば現れる「三角関数tanの逆関数の積分」の問題に2通りの解法を与えます。珍しく受験勉強向けの内容かもしれませんが、軽い内容ですので是非ご覧ください。

4次以下の関数について

「酒屋さんに空き瓶を3本持って行ったら新しいもの1本と交換してもらえます。最初に100本買った場合、この空き瓶交換を繰り返せば合計何本飲めるでしょうか？」 この算数で題材となる話を一般化し、「漸化式」や「極限」からアプローチしていこうと思います。

今回は高校数学で日陰に追いやられがちな「データの分析」にスポットを当ててみようと思います。 まず、以下の対応を考えてみようと思います。 平面もしくは空間における零ベクトルではないベクトル , について、 , のなす角を とします。 このとき 等式 が…

放物線をぐるんぐるん回して、ぐいぐいっとずらして原点に接するようにしたとき原点と頂点の位置関係はどうなるのかを直線とx軸のなす角という観点で観察する問題です。

3変数の対称式の値は標準的な問題では3乗和止まりですが、今回は2022乗和の値の性質を調べる問題を紹介したいと思います。 問題 方針 解答 問題 問題 を 以上の整数とする。 複素数 、、 が を満たすとき、以下の問いに答えよ。 (1) は整数となることを示せ…

今回は、前回考えた(有限)数列の「異なる2項の積の総和」に関する漸化式の応用その2を紹介します。 "その1"やそもそもの漸化式の作り方は以下の記事をご覧ください。 math-topology.hatenablog.com 前回の復習と今回の展望 関数の作り方 実際やってみた まと…

今回は、たまに大学入試でも出題される(有限)数列の「異なる2項の積の総和」の一般化を試みます。 以下の問題を考えます。 研究(異なるk項の積の総和) を 以上の整数、 を 以上の整数とする。 個の整数 から異なる 個の数選んで作る積の総和 を求めたい。 【…

「サッカーボールってどんな形だったっけ？」今回は"断片的な情報"からサッカーボールの面の数や構成を計算してみようと思います。 そのうえで、高校数学に登場する以下の定理を活用します。 定理(オイラーの多面体定理) 凸多面体 の頂点の数、辺の数、面の…

太郎：数学って役に立たないよね。花子：それは暴論だよ。生物学にも役に立っているんだよ。 みたいな会話文をどこかで目にするかもしれない時代がやってきました。*1 これは冗談ではなく、"数理"生物学という領域があるほど、数学をガンガン使っていく生物…

三角関数の●倍角の公式と縁が深いチェビシェフ多項式と呼ばれるものがあります。 () で定まる関数列 について が成り立ちます。 この を(第1種)チェビシェフ多項式と呼びます。*1 今回はこの事実をもとに高校数学で学ぶ漸化式の解を求めてみましょう。 【予…

代数的トポロジー(Algebraic topology, 代数的位相幾何学)と言えば「ホモロジー群」「コホモロジー環」「ホモトピー群」 といったホモトピー不変量が登場します。 たとえばホモロジー群、コホモロジー環は『初見では定義が複雑な反面、簡単な計算法(切除同型…

以前に「多項式の一致の定理」というテーマの中で 点を通る 次関数(のグラフ)が存在するならば一意であることを示しました。 math-topology.hatenablog.com 今回は、そもそも「任意の 点に対し、それらの点を通る 次関数は存在するのか」 という疑問を解決し…