とぽろじい ~大人の数学自由研究~

高校数学から分かる新しい数学、大学で学ぶ数学を少しずつまとめていくブログです。ゆくゆくは本にまとめたいと思っています。

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★高校数学+α

【整数】床関数(ガウス記号) 「商を3でn回割り続けること」と「3のn乗で割った商を求めること」は同じか?

今回はふと気になった疑問を「不等式で定義される関数」を用いて解決しようと思います。

【関数】(単発)n倍角の公式は双曲線関数でも成り立つか「双曲線関数とチェビシェフ多項式」

三角関数の●倍角の公式と縁が深いチェビシェフ多項式と「双曲線三角関数」の関係を調べました。対称式の計算とも関連があります。

【ベクトル】(単発) 成分表示されていなくても一瞬で体積計算する方法(内積利用)「四面体の体積公式」

高校数学におけるベクトル*1において四面体の体積を求めるには複数のステップを踏まないといけません。行列式を用いる方法もありますが、成分表示がされている場合に限られます。そこで今回は一般のベクトルに対して簡単に体積を求める公式を紹介します。 ベ…

【データの分析】(単発)データの分析って図形っぽい?「データの分析における余弦定理と三角不等式」

今回は高校数学で日陰に追いやられがちな「データの分析」にスポットを当ててみようと思います。 まず、以下の対応を考えてみようと思います。 平面もしくは空間における零ベクトルではないベクトル , について、 , のなす角を とします。 このとき 等式 が…

【数列】異なるk項の積の総和の考察2「異なるk項の積の総和の漸化式の応用2」

今回は、前回考えた(有限)数列の「異なる2項の積の総和」に関する漸化式の応用その2を紹介します。 "その1"やそもそもの漸化式の作り方は以下の記事をご覧ください。 math-topology.hatenablog.com 前回の復習と今回の展望 関数の作り方 実際やってみた まと…

【数列】異なるk項の積の総和の考察1「異なる2項の積の総和を漸化式で一般化」

今回は、たまに大学入試でも出題される(有限)数列の「異なる2項の積の総和」の一般化を試みます。 以下の問題を考えます。 研究(異なるk項の積の総和) を 以上の整数、 を 以上の整数とする。 個の整数 から異なる 個の数選んで作る積の総和 を求めたい。 【…

【組合せ論】(単発)サッカーボールはどんな形か? Local から Global へ。「オイラーの多面体定理の活用」

「サッカーボールってどんな形だったっけ?」今回は"断片的な情報"からサッカーボールの面の数や構成を計算してみようと思います。 そのうえで、高校数学に登場する以下の定理を活用します。 定理(オイラーの多面体定理) 凸多面体 の頂点の数、辺の数、面の…

【数列】(単発) 生物の絶滅条件をモデル化して考えよう「ロジスティック写像にゅうもんへん」

太郎:数学って役に立たないよね。花子:それは暴論だよ。生物学にも役に立っているんだよ。 みたいな会話文をどこかで目にするかもしれない時代がやってきました。*1 これは冗談ではなく、"数理"生物学という領域があるほど、数学をガンガン使っていく生物…

【数列】(単発)三項間漸化式の解を三角関数で表す「チェビシェフ多項式」

三角関数の●倍角の公式と縁が深いチェビシェフ多項式と呼ばれるものがあります。 () で定まる関数列 について が成り立ちます。 この を(第1種)チェビシェフ多項式と呼びます。*1 今回はこの事実をもとに高校数学で学ぶ漸化式の解を求めてみましょう。 【予…

【関数】(単発)n次関数がn+1点で決まる条件「ラグランジュ補間」

以前に「多項式の一致の定理」というテーマの中で 点を通る 次関数(のグラフ)が存在するならば一意であることを示しました。 math-topology.hatenablog.com 今回は、そもそも「任意の 点に対し、それらの点を通る 次関数は存在するのか」 という疑問を解決し…

【関数】(単発)4次関数のグラフが線対称になるには?「微分とグラフの対称性(線対称・点対称)」

今回は昔(高校生の頃)に調べていた4次関数のグラフの対称性について記事にまとめました。 具体的に言うと「4次関数のグラフが線対称となる条件を微分を使って求めよう」というテーマです。 なお、今回は対称性という言葉は「y軸に平行な直線に関する線対称」…

【関数】(単発)n次関数はn+1点でただ一つに決まるのか?「多項式の一致の定理」

今回はシリーズ物から離れまして、〇次関数と書かれるものについて考えます。 高校数学で初めて学ぶ関数といえば2次関数です。 2次関数を学ぶ上で練習問題として出てくるのが「3点が与えられ、その3点を通る放物線の式を答える問題」です。 2次関数の話から …

【数列】和分差分学6「4乗の和(Σの4乗)、べき乗和の公式を表計算ソフト(EXCEL)を用いて求めよう」

今までとは毛色の違うタイトルです。 前回で本シリーズは一段落したので、今回はちょっとした数列のTaylor展開の応用例を紹介したいと思います。 定理の証明については前々回の記事をご参照ください。 math-topology.hatenablog.com はじめに のTaylor展開 4…

【数列】和分差分学5「数列におけるTaylor展開と二項定理の数列版(後半)」

今回は前回証明した数列におけるTaylor展開を具体的な数列に適用していきます。 証明については前回の記事をご参照ください。 math-topology.hatenablog.com 前回証明した定理の紹介です。 定理(数列のTaylor展開)*1 任意の数列 について以下の等式が成り立…

【数列】和分差分学4「数列におけるTaylor展開と二項定理の数列版(前半)」

今回はタイトルのように数列におけるTaylor展開から見ていくことになります。 (今回は定理の証明、次回は具体例の計算になります。) math-topology.hatenablog.com (前回の内容はそれほど使いませんが、合わせてお読みいただければ幸いです。) さて、一般に…

【数列】和分差分学3「ライプニッツルールと部分和分」

前回、差分及び和分の定義と和分差分学の基本定理を導入しました。 今回は のような形の和分を計算する方法を考えていきたいと思います。 記号や用語に関しては前回のものを踏襲しますので、次の記事を参考にしてください。 math-topology.hatenablog.com 準…

【数列】和分差分学2 「差分と和分は逆操作」

本シリーズの全体像や必要な予備知識をつかむために前回の記事を読んでいただくことをおすすめします。 math-topology.hatenablog.com さて、本格的に和分差分を導入していきたいと思います。 今回は和分差分の定義と基本定理を紹介し、具体例を考えていきた…

【数列】和分差分学1  「導入:数列に微分積分を混ぜてみよう」

このシリーズでは高校数学で学ぶ「数列」をもっと掘り下げていきます。 大雑把に言うと差分(微分みたいなもの)と和分(積分みたいなもの)を中心に数列の新しい定理や公式を作っていくことになります。 とにかく微分積分でよく知られるものを数列に応用してい…