とぽろじい ~大人の数学自由研究~

高校数学から分かる新しい数学、大学で学ぶ数学を少しずつまとめていくブログです。ゆくゆくは本にまとめたいと思っています。

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*単発自由研究

【関数】(単発)n倍角の公式は双曲線関数でも成り立つか「双曲線関数とチェビシェフ多項式」

三角関数の●倍角の公式と縁が深いチェビシェフ多項式と「双曲線三角関数」の関係を調べました。対称式の計算とも関連があります。

【ベクトル】(単発) 成分表示されていなくても一瞬で体積計算する方法(内積利用)「四面体の体積公式」

高校数学におけるベクトル*1において四面体の体積を求めるには複数のステップを踏まないといけません。行列式を用いる方法もありますが、成分表示がされている場合に限られます。そこで今回は一般のベクトルに対して簡単に体積を求める公式を紹介します。 ベ…

【データの分析】(単発)データの分析って図形っぽい?「データの分析における余弦定理と三角不等式」

今回は高校数学で日陰に追いやられがちな「データの分析」にスポットを当ててみようと思います。 まず、以下の対応を考えてみようと思います。 平面もしくは空間における零ベクトルではないベクトル , について、 , のなす角を とします。 このとき 等式 が…

【組合せ論】(単発)サッカーボールはどんな形か? Local から Global へ。「オイラーの多面体定理の活用」

「サッカーボールってどんな形だったっけ?」今回は"断片的な情報"からサッカーボールの面の数や構成を計算してみようと思います。 そのうえで、高校数学に登場する以下の定理を活用します。 定理(オイラーの多面体定理) 凸多面体 の頂点の数、辺の数、面の…

【数列】(単発) 生物の絶滅条件をモデル化して考えよう「ロジスティック写像にゅうもんへん」

太郎:数学って役に立たないよね。花子:それは暴論だよ。生物学にも役に立っているんだよ。 みたいな会話文をどこかで目にするかもしれない時代がやってきました。*1 これは冗談ではなく、"数理"生物学という領域があるほど、数学をガンガン使っていく生物…

【数列】(単発)三項間漸化式の解を三角関数で表す「チェビシェフ多項式」

三角関数の●倍角の公式と縁が深いチェビシェフ多項式と呼ばれるものがあります。 () で定まる関数列 について が成り立ちます。 この を(第1種)チェビシェフ多項式と呼びます。*1 今回はこの事実をもとに高校数学で学ぶ漸化式の解を求めてみましょう。 【予…

【関数】(単発)n次関数がn+1点で決まる条件「ラグランジュ補間」

以前に「多項式の一致の定理」というテーマの中で 点を通る 次関数(のグラフ)が存在するならば一意であることを示しました。 math-topology.hatenablog.com 今回は、そもそも「任意の 点に対し、それらの点を通る 次関数は存在するのか」 という疑問を解決し…

【関数】(単発)4次関数のグラフが線対称になるには?「微分とグラフの対称性(線対称・点対称)」

今回は昔(高校生の頃)に調べていた4次関数のグラフの対称性について記事にまとめました。 具体的に言うと「4次関数のグラフが線対称となる条件を微分を使って求めよう」というテーマです。 なお、今回は対称性という言葉は「y軸に平行な直線に関する線対称」…

【関数】(単発)n次関数はn+1点でただ一つに決まるのか?「多項式の一致の定理」

今回はシリーズ物から離れまして、〇次関数と書かれるものについて考えます。 高校数学で初めて学ぶ関数といえば2次関数です。 2次関数を学ぶ上で練習問題として出てくるのが「3点が与えられ、その3点を通る放物線の式を答える問題」です。 2次関数の話から …