とぽろじい　～大人の数学自由研究～

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【関数】双曲線関数と論証(京都大学理系の2023年度入試問題第6問を魔改造)

*単発自由研究 ★高校数学+α ・数列 ・関数

今回は京都大学2023年度入試問題(理系)第6問を"魔改造"してマイナーチェンジした問題を紹介します。

※著作権の関係上、題材になった問題は掲載しません。

問題

問題

 p を 3 以上の素数とする．また，\theta を実数とする．

関数 \displaystyle h(\theta)=\frac{2^{\theta}+2^{-\theta}}{2} とおく．

(1)　h(3\theta) と h(4\theta) を h(\theta) の式として表せ．

(2)　\displaystyle h(\theta)=\frac{1}{p} のとき， \displaystyle \theta =\frac{m}{n} となるような正の整数 m,n が存在するか否か

　　理由を付けて判定せよ．

 

今回は以下の方針でこの問題を解決します。

 

・数列 \{ h(n\theta) \} に関する漸化式を作る。(チェビシェフ多項式の考え方)

・作った漸化式をもとに h(n\theta) の形を帰納的に決定していく。

 

それでは以下、解答です。

解答

関数 h(\theta) と整数 n について以下の等式が成り立ちます。

\displaystyle h((n+2)\theta)=2h(\theta)h((n+1)\theta)-h(n\theta)…①

(計算により簡単に確かめられます。詳細は以下の記事を参照してみてください。)

 

math-topology.hatenablog.com

(1)

この等式①を用いると、以下のようにして h(3\theta) と h(4\theta) が h(\theta) の式で表せます(h(0)=1 に注意します)。

h(2\theta)=2\{h(\theta)\}^{2}-1

h(3\theta)=2\{h(\theta)\}h(2\theta)-h(\theta)=4\{h(\theta)\}^{3}-3h(\theta)

h(4\theta)=2\{h(\theta)\}h(3\theta)-h(2\theta)=8\{h(\theta)\}^{4}-8\{h(\theta)\}^{2}+1

(おわり)

 

(2)

等式①に \displaystyle h(\theta)=\frac{1}{p} を代入します。

\displaystyle h((n+2)\theta)=\frac{2}{p}h((n+1)\theta)-h(n\theta)

この等式と h(0)=1 , \displaystyle h(\theta)=\frac{1}{p} から数学的帰納法を用いると以下のことが即座に示せます。

 

「正の整数 n に対して \displaystyle h(n\theta)=\frac{a_{n}}{p^{n}} (a_{n} は p で割り切れない正の整数) と書ける」…(*)

 

さて、 \displaystyle \theta =\frac{m}{n} となるような正の整数 m,n が存在すると仮定します。

すると n\theta =m となることから特に h(n\theta)=h(m) が成り立ちます。

これより(*)から \displaystyle \frac{a_{n}}{p^{n}}=\frac{2^{m}+2^{-m}}{2} 

つまり 2^{m+1}a_{n}=p^{n}(2^{2m}+1) を得ます。

p は3以上の素数であることから、a_{n} は p の倍数となり、a_{n} が p で割り切れないことに矛盾します。

したがって \displaystyle \theta =\frac{m}{n} となるような正の整数 m,n は存在しません。

(おわり)

まとめ

双曲線関数であってもチェビシェフ多項式を用いることで三角関数 \cos\theta と同様の問題を作れることがあるということで最新の入試問題から問題を作ってみました。

もちろん実数レベルで観察した場合は三角関数と違い"周期性"が見えなくなってしまいますが、今回のように「漸化式を作る→数学的帰納法で性質を調べる」という流れであれば何も支障がありませんでした。

他にも同じ手法で問題を作れそうですね。