とぽろじい ~大人の数学自由研究~

高校数学から分かる新しい数学、大学で学ぶ数学を少しずつまとめていくブログです。ゆくゆくは本にまとめたいと思っています。

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★大学数学

「代数的トポロジーのロードマップ」という名の自己紹介

今回は今更ながら自己紹介をします。ただ自己紹介をするだけではつまらないので「代数トポロジーの学習をするために学んだもの」を軸に紹介したいと思います。読んだ本も載せていきます。ただ、あくまでも私が学んだものですので、一例として捉えていただけ…

【代数的トポロジー】柔らかくない?トポロジー(後編)「偶数次元球面の有理ホモトピー群」

奇数次元球面なら簡単にminimal Sullivan model が作れました。偶数球面では「さらに奥」まで進みます。

【代数的トポロジー】柔らかくない?トポロジー(前編)「奇数次元球面の有理ホモトピー群」

(代数的)トポロジーでよく出てくる話と言えば「コーヒーカップとドーナツは"同じ"」ですね。 厳密に言えば、連続的に変形すれば互いに一致する"ホモトピー同値"という概念について言い表したものですが、この話が独り歩きして「トポロジーは図形を"柔らかく"…

【代数的トポロジー】LSカテゴリーの紹介1 「空間を可縮な開被覆で覆うには何枚必要?」

代数的トポロジー(Algebraic topology, 代数的位相幾何学)と言えば「ホモロジー群」「コホモロジー環」「ホモトピー群」 といったホモトピー不変量が登場します。 たとえばホモロジー群、コホモロジー環は『初見では定義が複雑な反面、簡単な計算法(切除同型…

【組合せ論】メビウスの反転公式6 「(応用例)包除原理/オイラーの多面体定理」

前々回、poset におけるメビウスの反転公式を証明しました。 (前々回の記事に関しては下にあるリンクをご利用ください。) 前回は応用例として古典的なメビウスの反転公式と差分と和分の関係を紹介しました。 今回は包除原理(inclusion-exclusion principle)…

【組合せ論】メビウスの反転公式5 「(応用例)古典的なメビウスの反転公式/差分と和分」

前回、poset におけるメビウスの反転公式を証明しました。 (前回の記事に関しては下にあるリンクをご利用ください。) これを用いて、今回からは高校数学でも出会うような「初等的な結果」を導いていこうと思います。 今回はこのシリーズの初回で紹介した古典…

【組合せ論】メビウスの反転公式4 「 Poset における メビウスの反転公式の証明」

いよいよ今回は Poset におけるメビウスの反転公式を証明しようと思います。 証明の肝となるのは、 zeta function (ゼータ関数、ζ関数) の逆元として Möbius function (メビウス関数)が与えられることです。 このことは前回に詳細を紹介していますので、気に…

【組合せ論】メビウスの反転公式3 「 Poset における zeta function(ゼータ関数)とMöbius function(メビウス関数)」

Posetでのメビウスの反転公式に向けて、最後の準備を行います。 今回は前回定義した incidence algebra (隣接代数)の元としての zeta function (ゼータ関数、ζ関数)を導入し、その"逆元"として Möbius function (メビウス関数)を構成します。 用語に関しては…

【組合せ論】メビウスの反転公式2 「 Poset における incidence algebra(隣接代数)」

本格的にposetでのメビウス反転公式に向けての準備を始めていきます。 今回はposetの定義および poset 上の incidence algebra (隣接代数)の定義を行います。 ※証明は最小限にとどめていますので、何かあればご連絡ください。 (前回は、古典的なメビウスの反…

【組合せ論】メビウスの反転公式1 「導入:整数だけじゃない、メビウスの反転公式で高校数学を俯瞰する」

このシリーズでは高校数学でも話題となることがある(古典的な)メビウスの反転公式について、より一般化された形で導入し、高校数学に出てくる複数の公式を包括的・横断的に証明しようという目論見のもと書いていこうと思います。 【本シリーズのレベル】 大…