今回は京都大学2023年度入試問題(理系)第6問を"魔改造"してマイナーチェンジした問題を紹介します。

今回はふと気になった疑問を「不等式で定義される関数」を用いて解決しようと思います。

「酒屋さんに空き瓶を3本持って行ったら新しいもの1本と交換してもらえます。最初に100本買った場合、この空き瓶交換を繰り返せば合計何本飲めるでしょうか？」 この算数で題材となる話を一般化し、「漸化式」や「極限」からアプローチしていこうと思います。

今回は、前回考えた(有限)数列の「異なる2項の積の総和」に関する漸化式の応用その2を紹介します。 "その1"やそもそもの漸化式の作り方は以下の記事をご覧ください。 math-topology.hatenablog.com 前回の復習と今回の展望 関数の作り方 実際やってみた まと…

今回は、たまに大学入試でも出題される(有限)数列の「異なる2項の積の総和」の一般化を試みます。 以下の問題を考えます。 研究(異なるk項の積の総和) を 以上の整数、 を 以上の整数とする。 個の整数 から異なる 個の数選んで作る積の総和 を求めたい。 【…

太郎：数学って役に立たないよね。花子：それは暴論だよ。生物学にも役に立っているんだよ。 みたいな会話文をどこかで目にするかもしれない時代がやってきました。*1 これは冗談ではなく、"数理"生物学という領域があるほど、数学をガンガン使っていく生物…

三角関数の●倍角の公式と縁が深いチェビシェフ多項式と呼ばれるものがあります。 () で定まる関数列 について が成り立ちます。 この を(第1種)チェビシェフ多項式と呼びます。*1 今回はこの事実をもとに高校数学で学ぶ漸化式の解を求めてみましょう。 【予…

今までとは毛色の違うタイトルです。 前回で本シリーズは一段落したので、今回はちょっとした数列のTaylor展開の応用例を紹介したいと思います。 定理の証明については前々回の記事をご参照ください。 math-topology.hatenablog.com はじめに のTaylor展開 4…

今回は前回証明した数列におけるTaylor展開を具体的な数列に適用していきます。 証明については前回の記事をご参照ください。 math-topology.hatenablog.com 前回証明した定理の紹介です。 定理(数列のTaylor展開)*1 任意の数列 について以下の等式が成り立…

今回はタイトルのように数列におけるTaylor展開から見ていくことになります。 (今回は定理の証明、次回は具体例の計算になります。) math-topology.hatenablog.com (前回の内容はそれほど使いませんが、合わせてお読みいただければ幸いです。) さて、一般に…

前回、差分及び和分の定義と和分差分学の基本定理を導入しました。 今回は のような形の和分を計算する方法を考えていきたいと思います。 記号や用語に関しては前回のものを踏襲しますので、次の記事を参考にしてください。 math-topology.hatenablog.com 準…

本シリーズの全体像や必要な予備知識をつかむために前回の記事を読んでいただくことをおすすめします。 math-topology.hatenablog.com さて、本格的に和分差分を導入していきたいと思います。 今回は和分差分の定義と基本定理を紹介し、具体例を考えていきた…

このシリーズでは高校数学で学ぶ「数列」をもっと掘り下げていきます。 大雑把に言うと差分(微分みたいなもの)と和分(積分みたいなもの)を中心に数列の新しい定理や公式を作っていくことになります。 とにかく微分積分でよく知られるものを数列に応用してい…