【数列】和分差分学5「数列におけるTaylor展開と二項定理の数列版(後半)」

今回は前回証明した数列におけるTaylor展開を具体的な数列に適用していきます。

証明については前回の記事をご参照ください。

math-topology.hatenablog.com

前回証明した定理の紹介です。

定理(数列のTaylor展開)*1

任意の数列 $\{ a_{n} \}$ について以下の等式が成り立つ。

$a_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(\Delta^{k}a)_{0} }{k!} n^{\underline{k}}$

が成り立つ。

等比数列と二項定理
対数列
分数列
等差数列と等比数列の積
まとめ
次の記事

等比数列と二項定理

まずは等比数列に数列のTaylor展開を適用しましょう。

$a_{n}=(x+1)^{n}$ ( $x$ は定数)

として、数列 $a$ を定義します。

( $x=-1$ のときはすべての項が $0$ の数列とします。)

このとき $\Delta a=x a$ となるので、帰納的に以下のことが分かります。

$\Delta^{k} a=x^{k} a$

また冪 $n^{\underline {k} }$ は二項係数 $\dbinom{n}{k}$ *2 を用いて

$n^{\underline {k} } = \dbinom{n}{k} k!$

となります。

さて、数列のTaylor展開を $a$ に適用します。

$a_{n}$

$=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(\Delta^{k}a)_{0} }{k!} n^{\underline{k}}$

$=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k} }{k!} n^{\underline{k}}$

$=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k} }{k!} \binom {n}{k} k!$

$=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k}$

以上により以下の等式が得られます。

$(x+1)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k}$

これはまさに二項定理と呼ばれるものに他ありません。

また途中式から得られる

$(x+1)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k} }{k!} n^{\underline{k}}$

に $x=1$ を代入すると

$2^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{ n^{\underline{k}} }{k!}$

を得ますが、これは指数関数 $e^{x}$ の $x=0$ におけるTaylor展開

$e^{x}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{ x^{k} }{k!}$

の類似とも言えます。

対数列

さて次は対数列 $Log$ のTaylor展開を考えます。

計算により帰納的に

$\Delta^{k} Log(n) =\dfrac{(-1)^{k-1} (k-1)!}{ (n+k)^{\underline {k} } }$

となることから、

$k\geq 1$ のとき、

$\Delta^{k} Log(0)$

$=\dfrac{(-1)^{k-1} (k-1)!}{ k^{\underline {k} } }$

$=\dfrac{(-1)^{k-1} (k-1)!}{ k! }$

$=\dfrac{(-1)^{k-1} }{ k }$

となります。

( $k=0$ のときは $Log(0)=0$ より上式は不成立です。)

よってTaylor展開を適用することで、 $n\geq 1$ のとき

$Log(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{ (-1)^{k+1} }{k \cdot k!} n^{\underline{k}}$

を得ます。*3

これは対数関数 $\log (1+x)$ の $x=0$ におけるTaylor展開

$\log (1+x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{k+1} }{k \cdot k!} x^{k}$ 　( $| x | \lt 1$ )

の数列版になっています。

また二項定理の形に寄せるため

$\dfrac{ n^{\underline {k} }} {k!} = \dbinom{n}{k}$

を用いると

$Log(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{ (-1)^{k+1} }{k} \dbinom{n}{k}$

と書けます。

あえて $Log(n)$ を従来の和の形で書いた場合、

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} =\sum_{k=1}^{n} \frac{ (-1)^{k+1} }{k} \dbinom{n}{k}$

と書けることになります。

この形だと高校数学の問題としても出題されそうですね。

分数列

次に対数列の類似として、分数列を考えます。

$a_{n}=\dfrac{1}{n+1}$ とおきます。*4

これまで通り定理を適用してもよい*5のですが、先ほどの対数列のTaylor展開を用いることでも計算できます。

$a_{n}$

$=\Delta Log(n)$

$=\Delta ( \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{ (-1)^{k+1} }{k \cdot k!} n^{\underline{k}} )$

$= \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} \frac{ (-1)^{k+1} }{k \cdot k!} (n+1)^{\underline{k}} - \sum_{k=1}^{n} \frac{ (-1)^{k+1} }{k \cdot k!} n^{\underline{k}}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{ (-1)^{k+1} }{k \cdot k!} ( (n+1)^{\underline{k}} -n^{\underline{k}} ) + \frac{ (-1)^{n+2} }{ (n+1)! (n+1) } (n+1)!$