【数列】(単発)三項間漸化式の解を三角関数で表す「チェビシェフ多項式」

三角関数の●倍角の公式と縁が深いチェビシェフ多項式と呼ばれるものがあります。

$T_{0}(x)=1$

$T_{1}(x)=x$

$T_{n+1}(x)-2xT_{n+1}(x)+T_{n}(x)=0$ 　( $n=0,1,2,\dots$ )

で定まる関数列 $\{ T_{n}(x) \}$ について $T_{n}(\cos\theta)=\cos (n\theta)$ が成り立ちます。

この $T_{n}(x)$ を(第1種)チェビシェフ多項式と呼びます。*1

今回はこの事実をもとに高校数学で学ぶ漸化式の解を求めてみましょう。

【予備知識】

高校数学(数学Ⅲまで)の知識があれば大丈夫です。

補題1　cos(nθ)とsin(nθ)からの準備
補題2　限定的な形で三項間漸化式を解く
定理3　より広い条件に一般化
まとめと応用あれこれ(複素数や極限との関連。こっちが本題?)

補題1　cos(nθ)とsin(nθ)からの準備

まずは冒頭で紹介したことに近いものを証明しておきます。

補題1

$\theta$ を実数とする。

$a_{n}=\cos(n\theta)$ で定まる数列 $\{ a_{n} \}_{n\ge 0}$ は以下の等式を満たす。

$a_{n+2}-2(\cos\theta) a_{n+1}+a_{n}=0$ 　( $n=0,1,2,\dots$ )

また $b_{n}=\sin(n\theta)$ で定まる数列 $\{ b_{n} \}_{n\ge 0}$ は以下の等式を満たす。

$b_{n+2}-2(\cos\theta) b_{n+1}+b_{n}=0$ 　( $n=0,1,2,\dots$ )

(証明)

$\cos( (n+1)\theta +\theta )$ , $\cos( (n+1)\theta -\theta )$ に加法定理を用いることで

$a_{n+2}+a_{n}=2(\cos\theta) a_{n+1}$

$\sin( (n+1)\theta +\theta )$ , $\sin( (n+1)\theta -\theta )$ に加法定理を用いることで

$b_{n+2}+b_{n}=2(\cos\theta) b_{n+1}$

を得ます。

(証明終わり)

補題2　限定的な形で三項間漸化式を解く

さて、この補題をもとに漸化式を解いてみましょう。

補題2

$|x|\lt1$ なる実数 $x$ と数列 $\{ a_{n} \}_{n\ge 0}$ について

$a_{n+2}-2x a_{n+1}+a_{n}=0$ 　( $n=0,1,2,\dots$ )

が成り立つとき $\{ a_{n} \}_{n\ge 0}$ の一般項は $n$ に無関係な実数 $A$ および $B$ を用いて

$a_{n}=A\cos (n\theta) +B\sin (n\theta)$

と書ける。

(ただし $\theta$ は $\cos\theta=x$ , $0\lt\theta\lt \pi$ を満たす実数とする。)

(証明)

天下り的ですが、数列 $\{ a_{n} \}_{n\ge 0}$ に対して

$A=a_{0}$

$B=\dfrac{a_{1}-a_{0}\cos \theta }{\sin \theta}$

と定めて、

$b_{n}=A\cos (n\theta) +B\sin (n\theta)$ とおきます。

補題1 により $b_{n+2}-2xb_{n+1}+b_{n}=0$ *2が成り立ちます。

また、計算により

$b_{0}=A=a_{0}$

$b_{1}=A\cos \theta+B\sin\theta=a_{1}$

となります。

$a_{n+2}-2x a_{n+1}+a_{n}=0$ 　( $n=0,1,2,\dots$ )

が成り立つとき数列 $\{ a_{n} \}_{n\ge 0}$ は $a_{0}$ , $a_{1}$ の値により一意に定まることを踏まえると、任意の自然数 $n$ について $a_{n}=b_{n}$ が成り立つと結論付けられます。

(証明終わり)

定理3　より広い条件に一般化

なぜ、補題2を用意したかですが、もちろん補題1の式の形に漸化式の係数を寄せることも一つの狙いですが、高校数学的に言えば「特性方程式(2次方程式)の解(虚数)の絶対値が1のバージョンでまず考える」というような見方もできます。

では絶対値が1ではないときどうするか？という視点に立つことで次のような一般化が可能です。

定理3

$x^{2}-4y\lt 0$ を満たす実数 $x$ および $y$ と数列 $\{ a_{n} \}_{n\ge 0}$ について

$a_{n+2}+x a_{n+1}+ya_{n}=0$ 　( $n=0,1,2,\dots$ )

が成り立つとき $\{ a_{n} \}_{n\ge 0}$ の一般項は $n$ に無関係な実数 $A$ および $B$ を用いて

$a_{n}=(\sqrt{y})^{n}(A\cos (n\theta) +B\sin (n\theta) )$

と書ける。

(ただし $\theta$ は $\cos\theta=-\dfrac{x}{2\sqrt{y}}$ , $0\lt\theta\lt \pi$ を満たす実数とする。)

(証明)

$x^{2}-4y\lt 0$ が成り立つことから、特に $y\gt 0$ が成り立ちます。

$a_{n+2}+x a_{n+1}+ya_{n}=0$ は

$\displaystyle \frac{a_{n+2}}{(\sqrt{y})^{n+2}}+\frac{x}{\sqrt{y}} \cdot \frac{ a_{n+1} }{(\sqrt{y})^{n+1}}+\frac{a_{n}}{(\sqrt{y})^{n}}=0$

と変形できます。

ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{(\sqrt{y})^{n}}$ とおくと

$b_{n+2}-\left(-\dfrac{x}{\sqrt{y}}\right)b_{n+1}+b_{n}=0$

と書きかえられます。

$x^{2}-4y\lt 0$ より $\displaystyle \left|-\dfrac{x}{\sqrt{y}}\right|\lt 2$ が成り立つので、補題2 より

$b_{n}=A\cos (n\theta) +B\sin (n\theta)$ ( $\cos\theta=-\dfrac{x}{2\sqrt{y}}$ )

と書けます。

以上より

$a_{n}=(\sqrt{y})^{n}(A\cos (n\theta) +B\sin (n\theta) )$

と表されます。

(証明終わり)

(例)

$a_{n+2}-2a_{n+1}+2a_{n}=0$ , $a_{0}=1$ , $a_{1}=2$

で定まる数列 $\{ a_{n} \}_{n\ge 0}$ について一般項を求めてみましょう。

$(-2)^2-4\cdot 2\lt 0$ より、定理3 が $\{ a_{n} \}_{n\ge 0}$ に適用できます。

すると

$a_{n}=(\sqrt{2})^{n}\left(A\cos (\dfrac{n\pi}{4})+B\sin (\dfrac{n\pi}{4}) \right)$

と書けます。

あとは $A$ および $B$ を求めれば十分です。

そこで $a_{0}=1$ , $a_{1}=2$ であることから $A$ および $B$ を求めると

$A=B=1$ となります。

したがって

$a_{n}=(\sqrt{2})^{n}\left(\cos (\dfrac{n\pi}{4})+\sin (\dfrac{n\pi}{4}) \right)$

となります。

まとめと応用あれこれ(複素数や極限との関連。こっちが本題?)

さて、三角関数のトピックを用いて漸化式を解くことが出来ました。

今回紹介した定理だけでも実は多くの発見があります。

高校数学では今回の 定理3 の形の漸化式であっても「特性方程式 $t^{2}+xt+y=0$ 」の解を用いて一般項を求めます。

その際に $x^{2}-4y\lt 0$ という条件はいわば「特性方程式の解が虚数」ということに対応します。

さらに実数係数の2次方程式の2つの虚数解は互いに共役な複素数となっていますので、比較的綺麗な形で一般項が表示されます。

$a_{n}=\dfrac{ \bar{\alpha}^{n} (a_{1}-\alpha a_{0}) - \alpha ^{n} (a_{1}-\bar{\alpha} a_{0}) }{\bar{\alpha}-\alpha}$

( $\alpha$ は特性方程式の1つの虚数解)

右辺の分子分母はそれぞれ虚部しか残らないわけですので $a_{n}$ が実数であることが即座に分かることはもちろん、複素数と三角関数を結びつける「極形式」を用いると 定理3 の別証明につながる匂いがぷんぷんしていることかと思います。

結構楽しい*3ので、是非確かめてみてください。*4

また、この 定理3 の表示をしていることで極限を調べることが容易になります。

定理3 の数列を利用すると

$\left| \dfrac{a_{n}}{(\sqrt{y})^{n}} \right| \le \sqrt{A^{2}+B^{2}}$ *5

という不等式が作れます。

この不等式を用いると、たとえば $0\lt y \lt 1$ のときは

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_{n} =0$ であることが分かります。

他にもたとえば $y=2$ のときは

$\left| \dfrac{a_{n}}{2^{n}} \right| \le \dfrac{\sqrt{A^{2}+B^{2}} }{\sqrt{2}^{n}}$

となることから

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{2^{n}} =0$

が容易に分かります。

(もちろん極限を調べるだけなら先ほど述べた虚数を用いた一般項の表示からも可能です。)

このように様々な応用ができます(ほかにもいろいろあります)ので、ぜひチェビシェフ多項式で"遊んで"みてはいかがでしょうか。

今回は「漸化式×三角関数」みたいなイメージで書かせてもらいました。

最後までお読みいただきありがとうございます。

それでは次回もよろしくお願いします。

*1:「多項式の一致の定理」(過去記事参照)により $\theta$ が"特殊"な値でなければ $T_{n}(\cos\theta)=\cos (n\theta)$ を満たす $T_{n}(x)$ は一意に定まります。今回は深入りしませんがこの辺りも興味深いトピックです。また、sinに関しては第2種チェビシェフ多項式が考えられます。これも深入りはしませんが今回の補題1から簡単に導くことは出来ます。

*2:今回の漸化式には"線型性"があります。

*3:主観です

*4:補題2 は絶対値が1の複素数の場合が対応することも分かります。

*5:右辺は三角関数の合成を用いています。

とぽろじい　～大人の数学自由研究～

高校数学から分かる新しい数学、大学で学ぶ数学を少しずつまとめていくブログです。ゆくゆくは本にまとめたいと思っています。