このシリーズでは高校数学で学ぶ「数列」をもっと掘り下げていきます。
大雑把に言うと差分(微分みたいなもの)と和分(積分みたいなもの)を中心に数列の新しい定理や公式を作っていくことになります。
とにかく微分積分でよく知られるものを数列に応用していくことになるので、新しい理論を知るということより「数学ってつながっているんだ」という視点を持ってもらうことが裏テーマだったりします。
さて、今回は簡単に導入としてこのシリーズで証明していきたいものや考え方を軽く紹介し、次回からは証明を含めてきっちりと理論構築していきたいと思います。
あくまで目安ですが、本シリーズにおける予備知識等を以下に記します。
【本シリーズのレベル】
高校数学
【本シリーズに対する予備知識】
数列(数学B)…一度学んだことがあることが望ましいです。
微分積分(数学Ⅲ)…なくても読めますが、知っているほうが楽しめます。
まず差分と和分の定義ですが、これらは決して新しいものではありません。
数列に対して、差分を
で与えますが、これはいわゆる階差数列というもので、和分
は数列
の和で定義することになります。
これらの道具だけで様々なことが調べられます。
本シリーズでは以下のことを紹介し、証明や具体例への利用を試みようと思います。
(現時点での予定ですので変更や追加の可能性が大いにあります。記事を更新していく中でリンクを張っていく予定です)
- 和分＆差分を作用させると数列は元に戻る。(微分積分学の基本定理の数列版)
- 差分を利用して和分を計算する。
- 部分和分で和分を計算。(部分積分の数列版)
- 数列のTaylor展開を作り、二項定理を一般化。
を計算。
どれも高校数学の知識で十分足ります。何より、聞いたことがあるようなキーワードが出てきていると思います。さて、次回からは本格的に1つの1つのテーマに触れていきたいと思います。
最後までお読みいただき誠にありがとうございました。
次回もよろしくお願いします。
