【代数的トポロジー】LSカテゴリーの紹介1　「空間を可縮な開被覆で覆うには何枚必要？」

代数的トポロジー(Algebraic topology, 代数的位相幾何学)と言えば「ホモロジー群」「コホモロジー環」「ホモトピー群」といったホモトピー不変量が登場します。

たとえばホモロジー群、コホモロジー環は『初見では定義が複雑な反面、簡単な計算法(切除同型、Mayor-Vietoris 完全列など)がある』一方、ホモトピー群は『定義が分かりやすい(球面からの基点付き写像のホモトピー類)反面、計算法は決して簡単ではない』という、"あちらを立てればこちらが立たず"の特徴があります。

今回は「LSカテゴリー( Lusternik-Schnirelmann category)」というホモトピー不変量を紹介するのですが、どちらかというとホモトピー群と同じように、「定義がかなり分かりやすい反面、計算は簡単ではない」タイプのホモトピー不変量になります。

では、「ホモトピー群との違いは何か？」ですが、それはLSカテゴリーは「0以上の自然数」という数値で与えられる点です。

ざっくり言うと「空間を"可縮な部分空間"で覆うには何枚必要か？」というものを考えることになります。

"可縮な部分空間"というのは"伸縮可能なハンカチ"のイメージですね。

さて、今回は証明などは少なめにLSカテゴリーの紹介を不定期に行っていこうと思います。

方向性はいろいろ考えられるゆえに未定です。

何かご要望等ございましたらぜひコメントや問い合わせフォームよりお願いします。

前提知識・参考文献とLSカテゴリーの定義
具体例(ユークリッド空間と球面)
ホモトピー不変量であることの証明
LSカテゴリーの壁
まとめ

前提知識・参考文献とLSカテゴリーの定義

【本シリーズのレベル】

大学数学

【本シリーズに対する予備知識】(随時更新予定)

集合と位相(連続写像やコンパクトの意味や周辺知識を知っているくらいでも。)

代数的トポロジー(ホモトピー同値をなんとなく知っているくらいでも。)

【参考文献】(随時追加予定)

[CLOT] O. Cornea, G. Lupton, J. Oprea, and D. Tanr´e, Lusternik-Schnirelmann category,
vol. 103 of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.

リンク

(日本では九州大の岩瀬先生が長年研究されており、先生のウェブサイトからもたくさんの情報が得られますのでお勧めです。)

(代数的トポロジーについては入門書がいろいろありますし、辞書的に引く場合には Allen Hatcher の website に電子版のテキストがあるので使えます。英語版 Wikipedia 等も情報は充実しています。あとは英語ですが、nLab も内容は充実していますね。)

それでは本題に入りましょう。

定義1(LSカテゴリー)

位相空間 $X$ について、 $X$ の有限開被覆 $U_{i}$ ( $i=0,1,…,n$ ) で、各 $i$ に対して $U_{i}$ が $X$ において可縮、すなわち包含写像 $U_{i} \hookrightarrow X$ が null-homotopic (定値写像とホモトピック) であるとき、

$\textrm{cat}(X)\le n$ と定義する。

特に、このような整数 $n$ で最小であるものを $n_{0}$ として

$\textrm{cat}(X)=n_{0}$

と書く。

(ただし、 $\textrm{cat}(X)$ はのとりうる値は0以上の整数もしくは $\infty$ *1として定めます。)

具体例(ユークリッド空間と球面)

さっそく具体例を計算してみましょう。

(例1) $n$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^{n}$

普通の距離により決まる位相により $\mathbb{R}^{n}$ は可縮ですから、 $\mathbb{R}^{n}$ 自体が自身の可縮な開被覆を与えます。

したがって $\textrm{cat}(\mathbb{R}^{n})\le 0$ となり、定義により、 $\textrm{cat}(\mathbb{R}^{n})=0$ となります。

(例2) $n$ 次元球面 $S^{n}$

$n+1$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^{n+1}$ の部分空間 $n$ 次元球面 $S^{n}=\{ (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})\in\mathbb{R}^{n+1} | x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\cdots x_{n}^{2}=1 \}$ について次の $U_{0}$ , $U_{1}$ が可縮な開被覆を与えます。