とぽろじい ~大人の数学自由研究~

高校数学から分かる新しい数学、大学で学ぶ数学を少しずつまとめていくブログです。ゆくゆくは本にまとめたいと思っています。

MENU

【代数的トポロジー】柔らかくない?トポロジー「奇数次元球面の有理ホモトピー群」(前編)

(代数的)トポロジーでよく出てくる話と言えば「コーヒーカップとドーナツは"同じ"」ですね。

厳密に言えば、連続的に変形すれば互いに一致する"ホモトピー同値"という概念について言い表したものですが、この話が独り歩きして「トポロジーは図形を"柔らかく"捉える」というイメージが根付いているように思われます。

そこで今回は柔らかいだけではない代数的トポロジーの紹介として、有理ホモトピー論(rational homotopy theory)の一部を見ていただこうと思います。

 

なお、本記事は日曜数学 Advent Calendar 2021 の19日目の記事になります。

様々な方が書かれたバラエティーに富んだ記事が多数ありますのでぜひこちらもご覧ください。

adventar.org

前提知識・参考文献

【本記事の前提知識】(雰囲気だけなら、なくても大丈夫です。)

・集合と位相(連続写像やコンパクトの意味や周辺知識を知っているくらいでも。)

・代数的トポロジー(ホモトピー同値やホモトピー群の定義をなんとなく知っているくらいでも。)

  

【参考文献】

[FHT01] Y. F´elix, S. Halpherin, J.-C. Thomas, Rational homotopy theory, Graduate Texts in
Mathematics, 205. Springer-Verlag New York, 2001.

[Nak]中岡稔. 位相幾何学ホモロジー論 —. Vol. 15. 共立講座現代の数学. 東京: 共立出版, 1970.

球面のホモトピー群

ホモトピー群は「球面からの連続写像*1ホモトピー類」がなす群によって定義されます。

定義がシンプルな反面、計算が難しいことで知られています。*2

たとえば球面のホモトピー群でさえ複雑な結果になります。(完全に計算し尽くされたわけではありません)

en.wikipedia.org

完全な結果を得る方法はありませんが、ホモトピー群の部分的な情報を取り出す方法があります。それが「有理ホモトピー」になります。

 

有理ホモトピー

有理ホモトピー群の定義は種々ありますが、本記事で X の有理ホモトピー群とは \pi_{*}(X)\otimes \mathbb{Q} とします。すなわち、ホモトピー群のある種の局所化を与えているものと言えます。

実際、先のWikipediaを見て分かるように球面のホモトピー群には  \mathbb{Z}_{2} など torsion(ねじれ) が多く現れますが、有理ホモトピー群ではそれらをキャンセルすることになります。

つまり有理ホモトピー群を計算することで「捩れていない部分の挙動」だけを取り出して観察することができます。

 

さて、ここで有理ホモトピーの基本となる定義と定理を紹介します。

(証明には simplicial set や圏論的な議論など様々な準備が必要となるので、割愛します。参考文献の[FHT]を参照してください。)

 

定義1(Sullivan algebra)

\mathbb{Q}有理数体とする。

次数付き \mathbb{Q} 上ベクトル空間 V=\{ V^{p} \}_{p\ge 0} (ただし V_{0}=0 ) により生成される次数付き自由可換 \mathbb{Q} 代数 \Lambda V を考える。*3

(可換であるとは、 u\wedge v =(-1)^{|u||v|}v\wedge u ただし |u|,|v| はそれぞれ u,v の次数、が成り立つことを意味する。 )

微分 d により  \left( \Lambda V, d \right) が次数付き微分代数になり、以下の条件(*)を満たすとき、  \left( \Lambda V, d \right) を Sullivan algebra という。

 

(*) ある次数付き部分ベクトル空間の増加フィルター列 V=\displaystyle\bigcup_{i=0}^{\infty}{V(i)} , V(0)\subset V(1) \subset V(2) \subset \cdots が存在して、

V(0) において d=0

 d: V(i)\longrightarrow \Lambda V(i-1) (i=1,2,\dots))

が成り立つ。

 

さらに、Sullivan algebra  \left( \Lambda V, d \right) について  \mathbf{Im} d \subset \Lambda^{\ge1}V\cdot\Lambda^{\ge1}V が成り立つとき、  \left( \Lambda V, d \right) は minimal Sullivan algebra であるという。

 

定理2(minimal Sullivan model)

\mathbb{Q}有理数体とする。

X が単連結で、その特異コホモロジー H^{*}(X;\mathbb{Q}) が finite type であるとする。

このとき次数付き環の同型 H^{*} \left( \Lambda V, d \right) \cong H^{*}(X;\mathbb{Q}) が成り立つ minimal Sullivan algebra  \left( \Lambda V, d \right) が存在する。*4

この  \left( \Lambda V, d \right)X の minimal Sullivan model という。

 

色々とかいつまんでいるので唐突な定義・定理ですが、やや圏論的なことを言えば、

「空間におけるCW近似」と「次数付き微分代数におけるSullivan model」は対応しており、それをつなぐものが定理2である、というイメージになります。

CW複体と同じく、Sullivan model 特に minimal Sullivan model は様々な計算上のメリットがあります。

たとえば定義1から Sullivan model の構造はスペクトル系列と非常に似ていることが分かります。

 

さて、今回は定理2に加え、幾何実現などさらに圏論的な議論を要する定理3を認めます。

こちらも参考文献[FHT]に詳細な証明がありますのでぜひご覧ください。

 

定理3

X が単連結で、H^{*}(X;\mathbb{Q}) が finite type であるとする。

このとき X の minimal Sullivan model  \left( \Lambda V, d \right) について

次数つき加群の同型  \pi_{*}(X)\otimes \mathbb{Q} \cong V が存在する。

 

さて、ここまでの準備をもとにいよいよ球面の有理ホモトピー群を求めようと思います。

 

奇数次元球面の有理ホモトピー群の計算

まず奇数次元球面の minimal Sullivan model を構成します。

n 次元球面 S^{n} の特異コホモロジー

H^{i}(S^{n};\mathbb{Q})=\begin{cases}\mathbb{Q} \,\,\, (i=0,n) \\0 \,\,\, (otherwise)\end{cases}

です。

(切除対に対してMayer-Vietoris完全列を用いる等、基本的な道具を使って証明できます。たとえば参考文献[Nak]を参照してください。)

 

さて、このことと定理2を用いると、以下の結果が得られます。

 

定理4(奇数次元球面の minimal Sullivan model)

n を正の奇数とする。

このとき S^{n} の minimal Sullivan model は

 (\Lambda (e) , 0) , \textbf{deg} e =n で与えられる。

 

(証明の概要)

 (\Lambda (e) , 0) が Sullivan algebra であることは自明です。

 e の次数 \textbf{deg} e=n より次数付き環における可換性により 

e\wedge e =(-1)^{n^{2}}e\wedge e =-e\wedge e が成り立ちます。

したがって e\wedge e =0 です。

すなわち次数付き環 H^{*}( \Lambda (e) , 0 )1 , e により生成されます。

よって S^{n} の特異コホモロジーと完全に等しい構造を持ちます。

また、d=0 であるため  (\Lambda (e) , 0) は minimal です。

(終わり)

 

さて、定理3,定理4により有理ホモトピー群が計算できます。

定理5(奇数次元空面の有理ホモトピー群)

i を正の整数とする。

\pi_{i}(S^{n})\otimes \mathbb{Q}=\begin{cases}\mathbb{Q} \,\,\, (i=n) \\0 \,\,\, (otherwise)\end{cases}

 

つまり、nホモトピー群以外の次数のホモトピー群は torsion 部分しかないということが分かりました。

 

まとめ(トポロジーは柔らかい?)

今回は"奇数"次元の球面の minimal Sullivan model に注目しましたが、「e の次数が奇数であること」が活きて Sullivan algebra の構造を計算することができました。

余分な情報をそぎ落として代数的構造にだけ注目する方法で、「柔らかい」「連続的変形」といったイメージとはかけ離れたものになっているのではないでしょうか。

さて、偶数次元球面の有理ホモトピー群に関しては、Sullivan model が少々異なります。(スペクトル系列の類似の考え方が必要になります。)

これに関しては後日書かせていただこうと思います。

 

それでは最後までお読みいただきありがとうございました。

また次回もよろしくお願いします。

*1:基点つき空間の連続写像で考えます。単連結であれば省略できます。

*2:一方、特異ホモロジー群は定義が難しい反面、計算がしやすいという対比があります。

*3:1を元にもちます。

*4:正確には quasi isomorphism の chain が構成できる。