とぽろじい　～大人の数学自由研究～

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【代数的トポロジー】柔らかくない？トポロジー(後編)「偶数次元球面の有理ホモトピー群」

・代数的トポロジー ★大学数学 *【代数的トポロジー】有理ホモトピー

(代数的)トポロジーでよく出てくる話と言えば「コーヒーカップとドーナツは"同じ"」ですね。

厳密に言えば、連続的に変形すれば互いに一致する"ホモトピー同値"という概念について言い表したものですが、この話が独り歩きして「トポロジーは図形を"柔らかく"捉える」というイメージが根付いているように思われます。

そこで今回は柔らかいだけではない代数的トポロジーの紹介として、有理ホモトピー論(rational homotopy theory)の一部を見ていただこうと思います。

 

なお、本記事は以下の記事の続編(発展編)にあたります。

まずはこちらをご覧いただければ幸いです。

 

math-topology.hatenablog.com

 

前提知識・参考文献

【本記事の前提知識】(雰囲気だけなら、なくても大丈夫です。)

・集合と位相(連続写像やコンパクトの意味や周辺知識を知っているくらいでも。)

・代数的トポロジー(ホモトピー同値やホモトピー群の定義をなんとなく知っているくらいでも。)

  

【参考文献】

[FHT01] Y. F´elix, S. Halpherin, J.-C. Thomas, Rational homotopy theory, Graduate Texts in
Mathematics, 205. Springer-Verlag New York, 2001.

[Nak]中岡稔. 位相幾何学 — ホモロジー論 —. Vol. 15. 共立講座現代の数学. 東京: 共立出版, 1970.

前回の振り返り

有理ホモトピー群を考えるために代数的な道具として「Sullivan algebra」、「Sullivan model」を用意しました。また、定理3により有理ホモトピーがこれらの道具を使って計算できることを示唆しました。

 

定義1(Sullivan algebra)

\mathbb{Q} を有理数体とする。

次数付き \mathbb{Q} 上ベクトル空間 V=\{ V^{p} \}_{p\ge 0} (ただし V_{0}=0 ) により生成される次数付き自由可換 \mathbb{Q} 代数 \Lambda V を考える。*1

(可換であるとは、 u\wedge v =(-1)^{|u||v|}v\wedge u ただし |u|,|v| はそれぞれ u,v の次数、が成り立つことを意味する。 )

外微分 d により \left( \Lambda V, d \right) が次数付き微分代数になり、以下の条件(*)を満たすとき、 \left( \Lambda V, d \right) を Sullivan algebra という。

 

(*)　ある次数付き部分ベクトル空間の増加フィルター列 V=\displaystyle\bigcup_{i=0}^{\infty}{V(i)} , V(0)\subset V(1) \subset V(2) \subset \cdots が存在して、

V(0) において d=0 で

d: V(i)\longrightarrow \Lambda V(i-1) (i=1,2,\dots))

が成り立つ。

 

さらに、Sullivan algebra \left( \Lambda V, d \right) について \mathbf{Im} d \subset \Lambda^{\ge1}V\cdot\Lambda^{\ge1}V が成り立つとき、 \left( \Lambda V, d \right) は minimal Sullivan algebra であるという。

 

定理2(minimal Sullivan model)

\mathbb{Q} を有理数体とする。

X が単連結で、その特異コホモロジー H^{*}(X;\mathbb{Q}) が finite type であるとする。

このとき次数付き環の同型 H^{*} \left( \Lambda V, d \right) \cong H^{*}(X;\mathbb{Q}) が成り立つ minimal Sullivan algebra \left( \Lambda V, d \right) が存在する。*2

この \left( \Lambda V, d \right) を X の minimal Sullivan model という。

 

定理3

X が単連結で、H^{*}(X;\mathbb{Q}) が finite type であるとする。

このとき X の minimal Sullivan model \left( \Lambda V, d \right) について

次数つき加群の同型 \pi_{*}(X)\otimes \mathbb{Q} \cong V が存在する。

 

偶数次元球面の有理ホモトピー群の計算

さて、今回は偶数次元球面の有理ホモトピー群を求めようと思います。

前回の奇数次元の(証明の概要)では次数つき環の可換性が「奇数次数」の場合にうまく働いてくれていました。しかし、偶数次元の場合はその「うまい働き」がなくなるのでもう一段階奥まで考える必要があります。

 

前回同様、偶数次元球面の minimal Sullivan model を構成します。

n 次元球面 S^{n} の特異コホモロジーは

H^{i}(S^{n};\mathbb{Q})=\begin{cases}\mathbb{Q} \,\,\, (i=0,n) \\0 \,\,\, (otherwise)\end{cases}

であることに変わりありません。

 

しかし、n が正の偶数なら (\Lambda (e) , 0) , \textbf{deg} e =n で与えた Sullivan algebra は  e^{2},e^{3},e^{4},\dots が生き残ってしまいます。

このように"とびとび"に基底が現れる状態ではとても S^{n} の Sullivan model になっているとは言えません。

 

そこで、e^{2} を「消す」ための元を持ってくることで解決します。

 

定理4'(偶数次元球面の minimal Sullivan model)

n を正の偶数とする。

このとき S^{n} の minimal Sullivan model は

(\Lambda (e,e') , d) , \textbf{deg} e =n ,  \textbf{deg} e' =2n-1 , de=0 , de'=e^{2} で与えられる。

 

(証明の概要)

(\Lambda (e,e') , d)   が minimal Sullivan algebra であることは自明です。

やや雑な説明になりますが、e と S^{n} の特異コホモロジーの次数 n の生成元の代表元の1つ \Phi を対応させます。

S^{n} の特異コホモロジーは次数が n より大きいところ、特に次数 2n では自明ですから、d\Psi=\Phi^{2} となる \Psi が存在します。

この \Psi を1つ固定させ、e' と対応させます。

この対応を m とし、これが minimal Sullivan model を与えることを調べます。

 

H^{*}(\Lambda (e,e') , d) について、定義から [e^{2}]=[de']=0 となります。

さらに Ker d^{2n-1}=0 (e' はサイクルではない)ですから H^{*}(\Lambda (e,e') , d) は 1, e により生成されます。

よって m が minimal Sullivan model を与えます。

(終わり)

 

さて、定理3,定理4'により有理ホモトピー群が計算できます。

定理5'(偶数次元空面の有理ホモトピー群)

i を正の整数とする。

\pi_{i}(S^{n})\otimes \mathbb{Q}=\begin{cases}\mathbb{Q} \,\,\, (i=n,2n-1) \\0 \,\,\, (otherwise)\end{cases}

 

つまり、偶数次元の場合は n 次ホモトピー群に加えて、 2n-1 次ホモトピー群も生き残ることになります。

 

まとめ

奇数次元と偶数次元の球面で有理ホモトピー群の結果に違いがありました。しかし、結果にいたるまでの過程は「代数的に自然な流れ」をとっており、言うなれば「次数つき代数の可換性」により支配されたような結果となっています。

そのため今回の考え方は偶数次元球面に限らず、射影空間など様々な空間に応用が可能です。(それほど有理ホモトピーは計算しやすいということです。)

機会があれば他の例も紹介したいと考えています。

 

また、有理ホモトピー群はホモトピー群の torsion free part を取り出したものと考えられます。そのため n 次元球面のホモトピー群は「n が奇数の場合は n 次のみ torison free partが生き残り、n が偶数の場合は n 次と 2n-1 次のみ torsion free part が生き残る」ことが分かります。

このように有理ホモトピー群は一般のホモトピー群の部分的な情報を抽出していることが分かるためホモトピー群の研究にもつながっています。

 

それでは最後までお読みいただきありがとうございました。

また次回もよろしくお願いします。

*1:1を元にもちます。

*2:正確には quasi isomorphism の chain が構成できる。