とぽろじい ~大人の数学自由研究~

高校数学から分かる新しい数学、大学で学ぶ数学を少しずつまとめていくブログです。ゆくゆくは本にまとめたいと思っています。

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【問題】数列の漸化式から第2022項を求める【ハイスピード数学プロブレム091】

「秒で解ける数学の問題」がテーマのハイスピード数学プロブレム。

今回は漸化式から定まる数列の第2022項を求める問題です。

一般項を求めなければいけないのでしょうか。

問題

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解答

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解説とこぼれ話

漸化式というと「巧妙な式変形で一般項を求めることが必要」という意識にとらわれてしまいがちですが、順番に各項を計算していく中で「規則性が見つかれば十分」という考え方も重要です。

なお今回は  b_{n}=\sqrt{a_{n}} とおくと、与えられた漸化式は b_{n+1}=| 2b_{n}^{2}-1 | と書きかえられます。この漸化式はcosの2倍角の式に対応します。

具体的には  b_{n}=\cos (2^{n-4}\pi) と書けることが分かります。

ハイスピード数学プロブレム(ハイ数)とは?

解法次第で「ハイスピードに解ける」数学の問題とその解説を随時ゆるーく紹介します。

一風変わった問題で頭の体操にいかがでしょうか。

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それでは最後までお読みいただきありがとうございました。