とぽろじい ~大人の数学自由研究~

高校数学から分かる新しい数学、大学で学ぶ数学を少しずつまとめていくブログです。ゆくゆくは本にまとめたいと思っています。

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【問題】マトリョーシカみたいな定積分【ハイスピード数学プロブレム072】

「秒で解ける数学の問題」がテーマのハイスピード数学プロブレム。

今回はマトリョーシカみたいに入れ子構造になっている定積分の計算です。

まともに展開せずに計算する方法はないでしょうか。

問題

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解答

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解説とこぼれ話

2x^{2}-1 を見て余弦(cos)の2倍角の公式、すなわち 2 次の(第1種)チェビシェフ多項式を連想することで、置換積分という手法に行きついています。

結果的にθ→2θ→4θ→8θ→16θというように角が2倍になっています。

 

以下に、以前の記事で「チェビシェフ多項式」について解説していますのでぜひ合わせてごらんください。

math-topology.hatenablog.com

 

ハイスピード数学プロブレム(ハイ数)とは?

解法次第で「ハイスピードに解ける」数学の問題とその解説を随時ゆるーく紹介します。

一風変わった問題で頭の体操にいかがでしょうか。

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それでは最後までお読みいただきありがとうございました。