【問題】4乗和(Σk^4)と極限【ハイスピード数学プロブレム035】

「秒で解ける数学の問題」がテーマのハイスピード数学プロブレム。

今回は4乗和に関する数列の和の極限の問題です。

4乗和の公式を知らずとも極限を求める方法はあるのでしょうか。

f:id:kfukui-math7:20211122191626p:plain

f:id:kfukui-math7:20211122191641j:plain

リンク

今回は「区分求積法が使える形」を目指して与えられた式を数列の和で表現しなおしました。具体的には和分差分の考え方を使っています。

なお今回の考え方は4乗和だけでなく5乗和や、6乗和…にも使えます。(途中の展開は二項定理を活用することになります。)

また、今回は4乗和 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4$ の $n^4$ の項を計算しているともとれます。

さらに同様の操作により $n^3$ の項、 $n^2$ の項、 $n$ の項、定数項と順次計算することも可能です。

結果的に $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4$ の計算も可能になります。(ただし手間がかかるためお勧めの方法ではありません。)

以前、もっと効率的な方法も紹介しているので以下の記事もぜひご参照ください。

解法次第で「ハイスピードに解ける」数学の問題とその解説を随時ゆるーく紹介します。

一風変わった問題で頭の体操にいかがでしょうか。

なお、インスタグラム( https://www.instagram.com/fukuma_topology/ )をフォローしていただくと最新の問題＆解説がご覧になれます。

他にも「自由研究」の記事が多数ありますので是非ご覧ください。

それでは最後までお読みいただきありがとうございました。

とぽろじい　～大人の数学自由研究～