とぽろじい ~大人の数学自由研究~

高校数学から分かる新しい数学、大学で学ぶ数学を少しずつまとめていくブログです。ゆくゆくは本にまとめたいと思っています。

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【問題】すごろくでぴったりゴールできる確率【ハイスピード数学プロブレム099】

「秒で解ける数学の問題」がテーマのハイスピード数学プロブレム。

今回はすごろくでぴったりゴールできる確率を求めます。

様々な知識や技を駆使します。

問題

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解答

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解説とこぼれ話

まず、余事象を考えることで「収束するなら  \dfrac{2}{7}」であることを推測しました。

次に、Q_{n} が 0 に収束することを三角方程式と線形な漸化式の解の形から示しました。これは以下の記事が参考になります。

 

math-topology.hatenablog.com

math-topology.hatenablog.com

 

途中、「特性方程式」が重解をもたないことを元の方程式とその(形式的)微分から得られる方程式の共通解の有無により吟味していますが、これは以下の問題が参考になります。

 

math-topology.hatenablog.com

 

なお、十分に大きい n をとったとき  P_{n} は単調に減少します。

そのため後半部分は単調に変化する有界な数列は収束することを使うという手があります。

 

ハイスピード数学プロブレム(ハイ数)とは?

解法次第で「ハイスピードに解ける」数学の問題とその解説を随時ゆるーく紹介します。

一風変わった問題で頭の体操にいかがでしょうか。

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他にも「自由研究」の記事が多数ありますので是非ご覧ください。

それでは最後までお読みいただきありがとうございました。